高考数学教案大全

教案可以帮助教师明确教学目标和内容，以便更好地组织教学，确保教学内容的准确性和有效性。写好高考数学教案大全要注意什么？小编给大家分享高考数学教案大全，希望对大家有所帮助。

高考数学教案大全篇1

教材分析

?教材地位及作用本节课是高中数学3(必修)第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。?教学重点理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，制订教学重点。教学难点如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。根据本节课的内容，即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定了教学难点。教

目标1.知识与技能

(1)理解古典概型及其概率计算公式，

(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2.过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3.情感态度与价值观

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。根据新课程标准，并结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订而成。这对激发学生学好数学概念，养成数学习惯，感受数学思想，提高数学能力起到了积极的作用。?

项目内容师生活动理论依据或意图 

过程分析一

提出问题引入新课在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：

试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数)，最后由科代表汇总;

试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次(最好是整十数)，最后由科代表汇总。

在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受。

教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题?

1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么?

不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率。

2.根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点?学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题。通过课前的模拟实验的展示，让学生感受与他人合作的重要性，培养学生运用数学语言的能力。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，通过观察对比，培养了学生发现问题的能力。

二思考交流形成概念

在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是;

在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是。

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

基本事件有如下的两个特点：

(1)任何两个基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

特点(2)的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成;在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”、“4点”和“6点”共同组成。学生观察对比得出两个模拟试验的相同点和不同点，教师给出基本事件的概念，并对相关特点加以说明，加深新概念的理解。让学生从问题的相同点和不同点中找出研究对象的对立统一面，这能培养学生分析问题的能力，同时也教会学生运用对立统一的辩证唯物主义观点来分析问题的一种方法。

教师的注解可以使学生更好的把握问题的关键。项目内?容师生活动理论依据或意图教

过程分析

二思考交流形成概念例1从字母中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件?

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。利用树状图可以将它们之间的关系列出来。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。

(树状图)

解：所求的基本事件共有6个：

，，，

，，

观察对比，发现两个模拟试验和例1的共同特点：

试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是;

试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是;

例1中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是;

经概括总结后得到：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)

(2)每个基本事件出现的可能性相等。(等可能性)

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

思考交流：

(1)向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么?

先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再讲解用树状图列举问题的优点。

让学生先观察对比，找出两个模拟试验和例1的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明。

学生互相交流，回答补充，教师归纳。将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。

培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力。通过用表格列出相同和不同点，能让学生很好的理解古典概型。从而突出了古典概型这一重点。

两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。项目内容师生活动理论依据或意图教

过程分析思考交流形成概念答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

(2)如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗?为什么?

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。??三

观察分析推导方程问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率如何计算?

分析：

实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即

P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)

由概率的加法公式，得

P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1

因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=

即试验二中，出现各个点的概率相等，即

P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)

=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”)

反复利用概率的加法公式，我们有

P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”)+P(“4点”)+P(“5点”)+P(“6点”)=P(必然事件)=1

所以P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)

=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”)=

进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，

P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”)=++==

即根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

教师提出问题，引导学生类比分析两个模拟试验和例1的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系。鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义方法来分析问题，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性，突出了古典概型的概率计算公式这一重点。

高考数学教案大全篇2

教学目标：(1)理解古典概型及其概率计算公式，

(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

教学过程：

导入：故事引入

探究一

试验：

(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验

(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验

上述两个试验的所有结果是什么?

一.基本事件

1.基本事件的定义：

随机试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件

2.基本事件的特点：

(1)任何两个基本事件是互斥的

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

例1、从字母a，b，c，d中任意取出两个不同的字母的试验中，有几个基本事件?分别是什么?

探究二：你能从上面的两个试验和例题1发现它们的共同特点吗?

二.古典概型

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)

(2)每个基本事件出现的可能性相等。(等可能性)

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

思考：判断下列试验是否为古典概型?为什么?

(1).从所有整数中任取一个数

(2).向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点都是等可能的。

(3).射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个，命中10环，命中9环，….命中1环和命中0环(即不命中)。

(4).有红心1，2，3和黑桃4，5共5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张.

高考数学教案大全篇3

教学目标：

1.理解流程图的选择结构这种基本逻辑结构.

2.能识别和理解简单的框图的功能.

3.能运用三种基本逻辑结构设计流程图以解决简单的问题.

教学方法：

1.通过模仿、操作、探索，经历设计流程图表达求解问题的过程，加深对流程图的感知.

2.在具体问题的解决过程中，掌握基本的流程图的画法和流程图的三种基本逻辑结构.

教学过程：

一、问题情境

1.情境：

某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为

其中(单位：)为行李的重量.

试给出计算费用(单位：元)的一个算法，并画出流程图.

二、学生活动

学生讨论，教师引导学生进行表达.

解算法为：

输入行李的重量;

如果，那么，

否则;

输出行李的重量和运费.

上述算法可以用流程图表示为：

教师边讲解边画出第10页图1-2-6.

在上述计费过程中，第二步进行了判断.

三、建构数学

1.选择结构的概念：

先根据条件作出判断，再决定执行哪一种

操作的结构称为选择结构.

如图：虚线框内是一个选择结构，它包含一个判断框，当条件成立(或称条件为“真”)时执行，否则执行.

2.说明：(1)有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判

断的不同情况进行不同的操作，这类问题的实现就要用到选择结构的设计;

(2)选择结构也称为分支结构或选取结构，它要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定执行两条分支路径中的某一条;

(3)在上图的选择结构中，只能执行和之一，不可能既执行，又执

行，但或两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作;

(4)流程图图框的形状要规范，判断框必须画成菱形，它有一个进入点和

两个退出点.

3.思考：教材第7页图所示的算法中，哪一步进行了判断?

高考数学教案大全篇4

一、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握画三视图的基本技能

(2)丰富学生的空间想象力

2.过程与方法

主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3.情感态度与价值观

(1)提高学生空间想象力

(2)体会三视图的作用

二、教学重点、难点

重点：画出简单组合体的三视图

难点：识别三视图所表示的空间几何体

三、学法与教学用具

1.学法：观察、动手实践、讨论、类比

2.教学用具：实物模型、三角板

四、教学思路

(一)创设情景，揭开课题

“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗?

(二)实践动手作图

1.讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;

2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

(1)画出球放在长方体上的三视图

(2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图

学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

3.三视图与几何体之间的相互转化。

(1)投影出示图片(课本P10，图1.2-3)

请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么?

(2)你能画出圆台的三视图吗?

(3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会?

教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

4.请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

(三)巩固练习

课本P12练习1、2P18习题1.2A组1

(四)归纳整理

请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

(五)课外练习

1.自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

高考数学教案大全篇5

“随机抽样”教学设计及反思

浙江省杭州市余杭高级中学吴寅静

统计和概率的基础知识是一个未来公民的必备常识①，它是中小学数学课程的重要内容.

在高中阶段，统计的学习从《必修3》第二章开始，本节课是开篇.好的开端等于成功的一半，因此本课很重要.笔者有幸承担本次课题会研究课的教学任务，在接受专家、同行的点评和指导中，对高中阶段的统计教学有了更深的认识.

下面分教学准备、教学设计和教后反思与大家共享我的心得.

教学准备

接到任务后，笔者首先查阅了一些统计论著.可惜，统计专业知识介绍的书籍多，统计教学的论著少之又少.这也从一个侧面反映了我国对中学统计教学研究的不足.

一、教什么

起始课究竟上什么内容?笔者征询了同事们的意见，绝大多数人认为，由于义教阶段学生对全面调查、抽样调查、样本、样本容量等概念都已很熟悉，没必要再纠缠.因此，第一堂课除了简单介绍本章学习内容以及随机抽样的必要性和重要性外，应将“2.1.1简单随机抽样”作为重点，这样整堂课就比较充实，不至于没有内容可讲.也有人认为，《教师教学用书》建议“2.1随机抽样”约为5课时，因此第一课时应只介绍随机抽样而不必涉及抽样方法.

笔者在听取了这些建议，经过再三思考后，决定把本课的教学内容定位于章引言和“随机抽样”的开篇，但不涉及具体抽样方法.理由如下：

1.章引言是整章内容的概括和介绍，既有先行组织者的作用，同时也能以此引出本课需要学习的内容.作为起始课，章引言的作用不可忽略.

2.虽然学生在小学、初中都学过统计，但对为什么要随机抽样，怎么进行随机抽样等的认识还不足.

3.作为统计的起始课，更重要的是让学生通过一些具体的实例感受随机抽样的必要性和重要性，而不是介绍一些具体的抽样方法.

二、怎么教

上述内容定位对教师提出的最大挑战就是如何寻找合适的素材，这个素材既要贴近学生的生活，又能让学生比较容易地参与到抽样活动中，在活动中体会随机抽样.几经选择后，笔者从教材中近视率的背景图中得到启发，设置了一系列关于调查学生近视率的问题串，以此开展整堂课的教学.整个教学过程分解为以下几个部分：

1.通过章头图提供的信息让学生感受数据，提出质疑即：这些数据是怎么来的?

2.让学生调查班级的近视率，感受普查的作用.

3.通过调查年级和全市高一学生的近视率，感受抽样调查的必要性，感受如何才能使样本具有代表性.

4.在小组讨论和师生交流中体会统计结果的不确定性.

5.在小结中结合章头图进行总结回顾，引出本章的知识框架.

?教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本课主要内容是让学生了解：认识客观现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后分析这些资料来认识此现象.获取有代表性的观测资料并正确地加以分析是正确认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题.

2.内容解析

本课是高中统计的第一节课，统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据.学生在义教阶段已学了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法.高中的统计学习将逐步让学生体会确定性思维与统计思维的差异，了解统计结果的随机性特征，知道统计推断可能出错.统计有两种：一种是把所有个体的信息都收集起来，然后进行描述，这种统计方法称为描述性统计，例如人口普查.但在很多情况下我们无法采用描述性统计对所有个体进行调查，通常是在总体中抽取一定的样本为代表，从样本的信息来推断总体的特征，这称为推断性统计.例如有的产品数量非常大，或者质量检查具有破坏性.

抽样调查是收集数据的一种重要途径，是一种重要的、科学的非全面调查方法.它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，用样本数据来推断总体.其中蕴涵了重要的统计思想——样本估计总体.而样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则是保证样本能很好地代表总体.而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑.

本节课重点：能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)通过具体案例的分析，逐步学会从现实生活中提出具有一定价值的统计问题;

(2)结合实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性，深刻理解样本的代表性.

2.目标解析

章引言列举了我国水资源缺乏问题、土地沙漠化问题等情境，提出了学习统计的意义.通过具体实例，引导学生尝试从实际问题中发现并提出统计问题.以培养学生从现实生活或其他学科中发现问题、提出问题的能力、意识和习惯.

对某个问题的调查最简单的方法就是普查，但是这种方法的局限性很大.出于费用和时间的考虑，有时一个精心设计的抽样方案，其实施效果甚至可以胜过普查.教学中要通过一定实例让学生体会随机抽样的必要性和重要性.为了使由样本到总体的推断有效，样本必须是总体的代表.在对实例的分析过程中，探讨获取有代表性的样本的方法，得到随机样本的概念，逐步理解样本的代表性与统计推断结论可靠性之间的关系.

三、教学问题诊断分析

学生在初中已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，但对设计合理的抽样方法，以使样本具有好的代表性的意识还不强.在已有学习中，学习内容多以确定性数学为主;学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学;这里，我们要通过具体问题，让学生体会统计的重要思想——用样本估计总体以及统计结果的不确定性.因此，学生已有知识经验与本节要达成的教学目标之间有较大差距.主要的困难有：对样本估计总体的思想、对统计结果的“不确定性”产生怀疑，对统计的科学性有所质疑;对抽样应该具有随机性，每个样本的抽取又都落实在某个人的具体操作上不理解，因此教学中要通过具体实例的研究给学生释疑.

教学中，可以鼓励学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题，如每天完成家庭作业所需的时间，每天的体育锻炼时间，学生的近视率，一批灯泡的寿命等.在学生提出这些问题后，要引导学生考虑问题中的总体是什么，要观测的变量是什么，如何获取样本等，这样可以培养学生提出统计问题的能力.

因此，本课的教学难点是：理解怎样的抽样才是随机抽样，如何抽样才能更好地代表总体.

四、教学支持条件分析

准备一些随机抽样成功或失败的事例，利用实物投影或放映的多媒体设备辅助教学.

五、教学过程设计

(一)感悟数据、引入课题

问题1：请同学们看章头图中的有关沙漠化和缺水量的数据，你有什么感受?

师生活动：让学生充分思考和探讨，并逐步引导学生产生质疑：这些数据是怎么来的?

设计意图：通过一些数据让学生充分感受我们生活在一个数字化时代，要学会与数据打交道，养成对数据产生的背景进行思考的习惯.

问题2：我们班级有很多同学都是戴眼镜的，你知道我们班的近视率吗?你是怎么知道的?

设计意图：通过与学生比较贴近的案例，让他们体会统计与日常生活的关系.

(二)操作实践、展开课题

问题3：如果我想了解我校所有高一学生的近视率，你打算怎么做呢?

师生活动：以四人小组为单位进行讨论，每个小组派一个代表汇报方案.

设计意图：从这个问题中引出抽样调查和样本的概念，使学生对于如何产生样本进行一定的思考，同时也使学生认识到样本选择的好坏对于用样本估计总体的精确度是有所不同的.

问题4：你认为下列预测结果出错的原因是什么?

在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志(LiteraryDigest)的工作人员做了一次民意测验.调查兰顿(A.Landon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(F.D.Roosevelt)(当时的总统)中谁将当选下一届总统.为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车量登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是杂志预测兰顿将在选举中获胜.实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下：

?

设计意图：通过案例让学生进一步体会到：在抽样调查中，样本的选择是至关重要的，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性.

问题5：如果要调查下面这几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查?大家对普查和抽样调查是怎么看的?普查一定好吗?请举例.

(1)了解全班同学每周的体育锻炼时间;

(2)调查市场上某个品牌牛奶的含钙量;

(3)了解一批日光灯的使用寿命.

设计意图：通过普查和抽样调查的比较，使学生感受抽样调查的必要性和重要性.

高考数学教案大全篇6

加法原理和乘法原理

教学目标

正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点和难点

重点：加法原理和乘法原理.

难点：加法原理和乘法原理的准确应用.

教学用具

投影仪.

教学过程设计

(一)引入新课

从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它.

今天我们先学习两个基本原理.

(二)讲授新课

1.介绍两个基本原理

先考虑下面的问题：

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法.

这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子——加法原理)：

加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)：

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见下图)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.

一般地，有如下基本原理(找出片子——乘法原理)：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.

2.浅释两个基本原理

两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.

比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别?

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关.

看下面的分析是否正确(打出片子——题1，题2)：

题1：找1～10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数，共有4个;第二类办法是找含因数3的合数，共有2个;第三类办法是找含因数5的合数，共有1个.

1～10中一共有N=4+2+1=7个合数.

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法?

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法.

题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3;10既含有因数2，也含有因数5.题中的分析是错误的.

从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法.

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理.

也就是说：类类互斥，步步独立.

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了.

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法?

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法?

(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)

(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法.根据加法原理，得到的取法种数是

N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.

(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法;第二步取1本语文书，有5种方法;第三步取1本英语书，有6种方法.根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90.故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法.

(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是N=3×5+3×6+5×6=63.即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.

例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法;第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法;第三步确定个位上的数字，仍有5种选法.根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100.

答：可以组成100个三位整数.

教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高.教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.

(四)归纳小结

归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：

分类时用加法原理，分步时用乘法原理.

应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.

(五)课堂练习

P222：练习1～4.

(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

(六)布置作业

P222：练习5，6，7.

补充题：

1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?

(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7+…+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

2.某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.

(提示：需要按三个志愿分成三步，共有m(m-1)(m-2)种填写方式)

3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?

(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

4.某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法?

(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会日语.

(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)

高考数学教案大全篇7

一、导入新课，探究标准方程

二、掌握知识，巩固练习

练习：

1、说出下列圆的方程

⑴圆心(3，—2)半径为5

⑵圆心(0，3)半径为3

2、指出下列圆的圆心和半径

⑴(x—2)2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2—6x+4y+12=0

3、判断3x—4y—10=0和x2+y2=4的位置关系

4、圆心为(1，3)，并与3x—4y—7=0相切，求这个圆的方程

三、引伸提高，讲解例题

例1、圆心在y=—2x上，过p(2，—1)且与x—y=1相切求圆的方程(突出待定系数的数学方法)

练习：

1、某圆过(—2，1)、(2，3)，圆心在x轴上，求其方程。

2、某圆过A(—10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圆的方程。

例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

例3、点M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线方程(一题多解，训练思维)

四、小结练习P771，2，3，4

五、作业P811，2，3，4

高考数学教案大全篇8

一、目标

1、知识与技能

(1)理解流程图的顺序结构和选择结构。

(2)能用字语言表示算法，并能将算法用顺序结构和选择结构表示简单的流程图

2、过程与方法

学生通过模仿、操作、探索、经历设计流程图表达解决问题的过程，理解流程图的结构。

3、情感、态度与价值观

学生通过动手作图，用自然语言表示算法，用图表示算法。进一步体会算法的基本思想——程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力。

二、重点、难点

重点：算法的顺序结构与选择结构。

难点：用含有选择结构的流程图表示算法。

三、学法与教学用具

学法：学生通过动手作图，用自然语言表示算法，用图表示算法，体会到用流程图表示算法，简洁、清晰、直观、便于检查，经历设计流程图表达解决问题的过程。进而学习顺序结构和选择结构表示简单的流程图。

教学用具：尺规作图工具，多媒体。

四、教学思路

（一）、问题引入揭示题

例1尺规作图，确定线段的一个5等分点。

要求：同桌一人作图，一人写算法，并请学生说出答案。

提问：用字语言写出算法有何感受？

引导学生体验到：显得冗长，不方便、不简洁。

教师说明：为了使算法的表述简洁、清晰、直观、便于检查，我们今天学习用一些通用图型符号构成一张图即流程图表示算法。

本节要学习的是顺序结构与选择结构。

右图即是同流程图表示的算法。

（二）、观察类比理解题

1、投影介绍流程图的符号、名称及功能说明。

符号符号名称功能说明

终端框算法开始与结束

处理框算法的各种处理操作

判断框算法的各种转移

输入输出框输入输出操作

指向线指向另一操作

2、讲授顺序结构及选择结构的概念及流程图

(1)顺序结构

依照步骤依次执行的一个算法

流程图：

(2)选择结构

对条进行判断决定后面的步骤的结构

流程图：

3、用自然语言表示算法与用流程图表示算法的比较

（1）半径为r的圆的面积公式当r=10时写出计算圆的面积的算法，并画出流程图。

解：

算法(自然语言)

①把10赋与r

②用公式求s

③输出s

流程图

（2）已知函数对于每输入一个X值都得到相应的函数值，写出算法并画流程图。

算法：（语言表示）

①输入X值

②判断X的范围，若，用函数Y=x+1求函数值；否则用Y=2-x求函数值

③输出Y的值

流程图

小结：含有数学中需要分类讨论的或与分段函数有关的问题，均要用到选择结构。

学生观察、类比、说出流程图与自然语言对比有何特点？（直观、清楚、便于检查和交流）

（三）模仿操作经历题

1、用流程图表示确定线段AB的一个16等分点

2、分析讲解例2；

分析：

思考：有多少个选择结构？相应的流程图应如何表示？

流程图：

（四）归纳小结巩固题

1、顺序结构和选择结构的模式是怎样的？

2、怎样用流程图表示算法。

（五）练习Ｐ992

（六）作业P991

高考数学教案大全篇9

教学目的：

(1)明确函数的三种表示方法;

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;

(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用;

(4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.

教学过程：

引入课题

复习：函数的概念;

常用的函数表示法及各自的优点：

(1)解析法;

(2)图象法;

(3)列表法.

新课教学

(一)典型例题

例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x).

分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表.

解：(略)

注意：

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;

解析法：必须注明函数的定义域;

图象法：是否连线;

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

巩固练习：

课本P27练习第1题

例2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?

解：(略)

注意：

本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点;

本例能否用解析法?为什么?

巩固练习：课本P27练习第2题

例3.画出函数y=x.

解：(略)

巩固练习：课本P27练习第3题

拓展练习：

任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=f(x)和y=f(x)的图象，并尝试简要说明三者(图象)之间的关系.

课本P27练习第3题

例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元;

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算).

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值.

解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，

如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站)，那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈Nx≤19}.

由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

()

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

注意：

本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义;

本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表?

实践与拓展：

请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.(可以实地考查一下某公交车线路)

说明：象上面两例中的函数，称为分段函数.

高考数学教案大全篇10

教材分析：

三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书(人教B版)数学必修四，第一章第二节内容，其主要内容是公式(一)至公式(四)。本节课是第二课时，教学内容是公式(三)。教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义和公式(一)(二)的基础上，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现三角函数值的关系。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法。

教案背景：

通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义和公式(一)(二)的基础上，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现三角函数值的关系。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。因此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位.

教学方法：

以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式。

教学目标：

借助单位圆探究诱导公式。

能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数。

教学重点：

诱导公式(三)的推导及应用。

教学难点：

诱导公式的应用。

教学手段：

多媒体。

教学情景设计：

一.复习回顾：

1.诱导公式(一)(二)。

2.角(终边在一条直线上)

3.思考：下列一组角有什么特征?()能否用式子来表示?

二.新课：

已知由

可知

而(课件演示，学生发现)

所以

于是可得：(三)

设计意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出公式。

由公式(一)(三)可以看出，角角相等。即：

.

公式(一)(二)(三)都叫诱导公式。利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式。

设计意图：结合学过的公式(一)(二)，发现特点，总结公式。

1.练习

(1)

设计意图：利用公式解决问题，发现新问题，小组研究讨论，得到新公式。

(学生板演，老师点评，用彩色粉笔强调重点，引导学生总结公式。)

三.例题

例3：求下列各三角函数值：

(1)

(2)

(3)

(4)

例4：化简

设计意图：利用公式解决问题。

练习：

(1)

(2)(学生板演，师生点评)

设计意图：观察公式特点，选择公式解决问题。

四.课堂小结：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，体现转化化归，数形结合思想的应用，培养了学生分析问题、解决问题的能力，熟练应用解决问题。

五.课后作业：课后练习A、B组

六.课后反思与交流

很荣幸大家来听我的课，通过这课，我学习到如下的东西：

1.要认真的研读新课标，对教学的目标，重难点把握要到位

2.注意板书设计，注重细节的东西，语速需要改正

3.进一步的学习网页制作，让你的网页更加的完善，学生更容易操作

4.尽可能让你的学生自主提出问题，自主的思考，能够化被动学习为主动学习，充分享受学习数学的乐趣

5.上课的生动化，形象化需要加强

听课者评价：

1.评议者：网络辅助教学，起到了很好的效果;教态大方，作为新教师，开设校际课，勇气可嘉!建议：感觉到老师有点紧张，其实可以放开点的，相信效果会更好的!重点不够清晰，有引导数学时，最好值有个侧重点;网络设计上，网页上公开的推导公式为上，留有更大的空间让学生来思考。

2.评议者：网络教学效果良好，给学生自主思考，学习的空间发挥，教学设计得好;建议：课堂讲课声音，语调可以更有节奏感一些，抑扬顿挫应注意课堂例题练习可以多两题。

3.评议者：学科网络平台的使用;建议：应重视引导学生将一些唾手可得的有用结论总结出来，并形成自我的经验。

4.评议者：引导学生通过网络进行探究。

建议：课件制作在线测评部分，建议不能重复选择，应全部做完后，显示结果，再重复测试;多提问学生。

(1)给学生思考的时间较长，语调相对平缓，总结时，给学生一些激励的语言更好

(2)这样子的教学可以提高上课效率，让学生更多的时间思考

(3)网络平台的使用，使得学生的参与度明显提高，存在问题：1.公式对称性的诱导，点与点的对称的诱导，终边的关系的诱导，要进一步的修正;2.公式的概括要注意引导学生怎么用，学习这个诱导公式的作用

(4)给学生答案，这个网页要进一步的修正，答案能否不要一点就出来

(5)1.板书设计要进一步的加强，2.语速相对是比较快的3.练习量比较少

(6)让学生多探究，课堂会更热闹

(7)注意引入的过程要带有目的，带着问题来教学，学生带着问题来学习

(8)教学模式相对简单重复

(9)思路较为清晰，规范化的推理

高考数学教案大全篇11

教学目标：

1、掌握复数的加减法及乘法运算法则及意义；理解共轭复数的概念。

2、理解并掌握实数进行四则运算的规律。

教学重点：

复数乘法运算

教学难点：

复数运算法则在计算中的熟练应用

教学方法：

类比探究法

教学过程：

复习复数的定义，复数的分类及复数相等的充要条件等上节课所学内容

一、问题情境

问题1：化简：，类比你能计算吗？

问题2：化简：多项式，类比你能计算吗？

问题3：两个复数a＋bi，a－bi有什么联系？

二、学生活动

1、由多项式的加法类比猜想＝1＋4i，进而猜想。若，根据复数相等的定义，得？

2、由多项式的乘法类比猜想（2＋3i）（－1＋i）＝－5－i，进而猜想（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。

3、两个复数a＋bi，a－bi实部相等，虚部互为相反数。

三、建构数学

复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di

复数和的定义：z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i

复数差的定义：z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i

复数积的定义：z1z2＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i

性质：z2z1＝z1z2；（z1z2）z3＝z1（z2z3）；z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

共轭复数：与互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身

四、数学应用

解a2＋b2

思考1当a＞0时，方程x2＋a＝0的根是什么？

解x＝±i

思考2设x，y∈R，在复数集内，能将x2＋y2分解因式吗？

解x2＋y2＝（x＋yi）（x－yi）

五、巩固练习

课本P115练习第3，4，5题。

六、拓展训练

例4已知复数z满足：求复数z？

七、要点归纳与方法小结：

本节课学习了以下内容：

1、复数的加减法法则和运算律。

2、复数的乘法法则和运算律。

3、共轭复数的有关概念。

高考数学教案大全篇12

教学设计

整体设计

教学分析

对余弦定理的探究，教材是从直角三角形入手，通过向量知识给予证明的.一是进一步加深学生对向量工具性的认识，二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处，感受向量法在解决问题中的威力.课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法，推出余弦定理后，可让学生用自己的语言叙述出来，并让学生结合余弦函数的性质明确：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广.还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的.

应用余弦定理及其另一种形式，并结合正弦定理，可以解决以下问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形;(2)已知三角形的三边解三角形.在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题.在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一种形式，可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小.

根据教材特点，本内容安排2课时.一节重在余弦定理的推导及简单应用，一节重在解三角形中两个定理的综合应用.

三维目标

1.通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用;了解余弦定理与勾股定理之间的联系;知道解三角形问题的几种情形.

2.通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识;同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美.

3.加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想;这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握.

重点难点

教学重点：掌握余弦定理;理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形.

教学难点：余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理.现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受.

思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢?也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢?根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗?

推进新课

新知探究

提出问题

??1?通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢?

?2?能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢?

?3?余弦定理的内容是什么?你能用文字语言叙述它吗?余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一种表达形式是什么?

?5?余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解?

?6?正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别?

活动：根据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜想与验证”，教师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般.

如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.

如下图，在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，试根据b、c、∠A来表示a.

教师引导学生进行探究.由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形.在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在Rt△ADC内求解.探究过程如下：

过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论.

这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理.下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用.

教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a?b=abcosθ，其中θ为a，b的夹角.

用向量法探究余弦定理的具体过程如下：

如下图，设CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

c2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以证明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：

如下图，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(a,0)，点A的坐标为(bcosC，bsinC)，根据两点间距离公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以证明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量.从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系.学生容易看出，若△ABC中，C=90°，则cosC=0，这时余弦定理变为c2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广;勾股定理是余弦定理的特例.另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广.

应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：

①已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有解;

②已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也确定，故解.不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题.

把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题.教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢?教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角.教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧.

讨论结果：

(1)、(2)、(3)、(6)见活动.

(4)余弦定理的另一种表达形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：

一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角.

应用示例

例1如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活动：本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可让学生独立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如图，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各个角的大小及其面积.(精确到0.1)

活动：本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出边所对的角，然后利用正弦定理再求出另一角，进而求得第三角.教材中这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理.实际教学时可让学生自己探求解题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要给予鼓励，然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.5960，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合题意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

设BC边上的高为AD，则

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面积≈12×3×1.73≈2.6.

点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异.当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定.

变式训练

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精确到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.7250，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.8071，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如图，△ABC的顶点为A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精确到0.1°)

活动：本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出∠A.可由学生自己解决，教师给予适当的指导.

解：根据两点间距离公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.1047，

因此∠A≈84.0°.

点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值.

变式训练

用向量的数量积运算重做本例.

解：如例3题图，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴AB→=73，AC→=20.

∴cosA=AB→?AC→AB→AC→

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.1047.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活动：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意.

综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之.

变式训练

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面积等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面积.

解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC=3，ab=4.

联立方程组a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知条件，得b=2a，

联立方程组a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面积S=12absinC=233.

知能训练

1.在△ABC中，已知C=120°，两边a与b是方程x2-3x+2=0的两根，则c的值为…

()

A.3B.7C.3D.7

2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D解析：由题意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比较得知，x2+x+1为三角形的边，设其对角为A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角为120°.

课堂小结

1.教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题.

2.教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量.要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理.

作业

课本习题1—1A组4、5、6;习题1—1B组1～5.

设计感想

本教案的设计充分体现了“民主教学思想”，教师不主观、不武断、不包办，让学生充分发现问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果.这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以巩固和延伸.“发现法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形出发，以归纳——猜想——证明——应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来，而展现的过程合情合理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥.

纵观本教案设计流程，引入自然，学生探究到位，体现新课程理念，能较好地完成三维目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处.环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识，使学生的探究欲望及精神状态始终处于状态.在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线.

备课资料

一、与解三角形有关的几个问题

1.向量方法证明三角形中的射影定理

如图，在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴AC→2+AC→CB→cos(180°-C)=AB→AC→cosA.

∴AC→-CB→cosC=AB→cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式称为三角形中的射影定理.

2.解斜三角形题型分析

正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.

关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：

(1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、a，解△ABC.

解：①根据A+B+C=π，求出角C;

②根据asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.

(2)已知两边和它们的夹角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根据c2=a2+b2-2abcosC，求出边c;

②根据cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三边c后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可以用余弦定理求解.

(3)已知两边及其中一条边所对的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，经过讨论求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根据asinA=csinC，求出边c.

(4)已知三边a、b、c，解△ABC.

解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A+B+C=180°，求出第三个角.

另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不.

3.“可解三角形”与“需解三角形”

解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具.但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题，往往不知如何下手.至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量.但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了.

所谓“可解三角形”，是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角，从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间.一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究.

二、备用习题

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，则△ABC的面积S为()

A.152B.15C.2D.3

2.已知一个三角形的三边为a、b和a2+b2+ab，则这个三角形的角是()

A.75°B.90°C.120°D.150°

3.已知锐角三角形的两边长为2和3，那么第三边长x的取值范围是()

A.(1,5)B.(1，5)C.(5，5)D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新三角形的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加的长度确定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a=3，b=3，C=30°，则A=__________.

(2)在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为__________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，试判断△ABC的形状.

7.在△ABC中，设三角形面积为S，若S=a2-(b-c)2，求tanA2的值.

参考答案：

1.A解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C解析：设角为θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D解析：若x为边，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2<13，∴0

若x为最小边，则由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.综上，知x的取值范围是5

4.A解析：设直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，增加长度为x.

则c+x为新三角形的最长边.设其所对的角为θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ为锐角，即新三角形为锐角三角形.

5.(1)30°(2)612解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，则A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根据余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC为正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2sinA2，∴tanA2=14.

第2课时

导入新课

思路1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式，回顾上两节课所解决的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识我们会探究出什么样的解题规律呢?由此展开新课.

思路2.(问题导入)我们在应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其一边的对角往往得出不同情形的解，有时有一解，有时有两解，有时又无解，这究竟是怎么回事呢?本节课我们从一般情形入手，结合图形对这一问题进行进一步的探究，由此展开新课.

推进新课

新知探究

提出问题

?1?回忆正弦定理、余弦定理及其另一种形式的表达式，并用文字语言叙述其内容.能写出定理的哪些变式?

?2?正、余弦定理各适合解决哪类解三角形问题?

?3?解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些?

?4?为什么有时解三角形会出现矛盾，即无解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22cm，b=25cm，A=135°，解三角形;,②已知三条边分别是3cm，4cm，7cm，解三角形.

活动：结合课件、幻灯片等，教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么?各式中有几个量?有什么作用?用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等.可让学生填写下表中的相关内容：

解斜三角形时可

用的定理和公式适用类型备注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC(1)已知三边

(2)已知两边及其夹角

类型(1)(2)有解时只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知两角和一边

(4)已知两边及其中一边的对角类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解

三角形面积公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知两边及其夹角

对于正弦定理，教师引导学生写出其变式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻灯片更能直观地看出解三角形时的边角互化.对于余弦定理，教师要引导学生写出其变式(然后教师打出幻灯片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A<90°?a2

以上内容的复习回顾如不加以整理，学生将有杂乱无章、无规碰撞之感，觉得好像更难以把握了，要的就是这个效果，在看似学生乱提乱问乱说乱写的时候，教师适时地打出幻灯片(1张)，立即收到耳目一新，主线立现、心中明朗的感觉，幻灯片除以上2张外，还有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻灯片后，必要时教师可根据学生的实际情况略作点评.

与学生一起讨论解三角形有时会出现无解的情况.如问题(4)中的①会出现如下解法：

根据正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.8311.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到这里我们发现解三角形竟然解出负角来，显然是错误的.问题出在哪里呢?在检验以上计算无误的前提下，教师引导学生分析已知条件.由a=22cm，b=25cm，这里a

讨论结果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解决以下四类解三角形问题：

①已知两角和任一边，求其他两边和一角.

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

③已知三边，求三个角.

④已知两边和夹角，求第三边和其他两角.

应用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=acosC且△ABC的边长为12，最小角的正弦值为13.

(1)判断△ABC的形状;

(2)求△ABC的面积.

活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联，引导学生观察条件b=acosC，这是本例中的关键条件.很显然，如果利用正弦定理实现边角转化，则有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理实现边角转化，则有b=a?a2+b2-c22ab，两种转化策略都是我们常用的.引导学生注意对于涉及三角形的三角函数变换.内角和定理A+B+C=180°非常重要，常变的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三个内角的大小范围都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的边长为12，由(1)知斜边a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值为13，

∴Rt△ABC的最短直角边长为12×13=4.

另一条直角边长为122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

点评：以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向.因此要特别关注三角函数在解三角形中的灵活运用，及正、余弦定理的灵活运用.

变式训练

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面积S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若a=7，c=5，∠A=120°，求边长b及△ABC外接圆半径R.

活动：教师引导学生观察已知条件，有边有角，可由余弦定理先求出边b，然后利用正弦定理再求其他.点拨学生注意体会边角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(负值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

点评：本题直接利用余弦定理，借助方程思想求解边b，让学生体会这种解题方法，并探究其他的解题思路.

变式训练

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的长;

(2)四边形ABCD的面积.

活动：本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用，结合三角形面积求解，难度不大，可让学生自己独立解决，体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用.

解：(1)因为∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因为∠BDC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+45°+30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD=3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24=5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理，S△BCD=3+34.

所以四边形ABCD的面积S=6+334.

点评：本例解答对运算能力提出了较高要求，教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”，养成规范答题的良好习惯.

变式训练

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因为∠BCD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活动：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.

证法一：(化为三角函数)

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得证.

证法二：(化为边的等式)

左边=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

点评：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦两角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.

高考数学教案大全篇13

一、基本知识概要：

1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。

从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离;有两组解必相交;一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。

2.弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;

通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。

3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：

=或当存在且不为零时

，(其中()，()是交点坐标)。

②抛物线的焦点弦长公式AB=，其中α为过焦点的直线的倾斜角。

4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。

5.思维方式:方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。

6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行。

二、例题：

【例1】直线y=x+3与曲线()

A。没有交点B。只有一个交点C。有两个交点D。有三个交点

〖解〗：当x>0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，1<3y="x+3过椭圆的顶点，k=1">0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

(1)若一等差数列{an}的首项是,公差是d，则据其定义可得：

a2-a1=d即：a2=a1+d

a3-a2=d即：a3=a2+d

……

猜想:

a40=a1+39d

进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d

设计思路：在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论的通项公式。通过总结的通项公式由学生猜想的通项公式，进而归纳的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识，又化解了教学难点。

(2)此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——迭加法：

a2-a1=d

a3=a2+d

……

an-an-1=d将这n-1个等式左右两边分别相加,就可以得到an–a1=(n-1)d即an=a1+(n-1)d，当n=1时，此式也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立，因此它就是等差数列{an｝的通项公式。

在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。将n-1个等式相加，证出通项公式。在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想”的教学要求。

(三)巩固新知应用例解

例1(1)求等差数列8，5，2，…的第20项;第30项;第40项

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项?

例2在等差数列{an｝中，已知a5=10，a20=31，求首项与公差d。

这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的三个量已知时，可根据该公式求出第四个量。

例3梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣;3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法。

(四)反馈练习

1、课后的练习中的第1题和第2题(要求学生在规定时间内完成)。

目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

2、课后习题第3题和第4题。

目的：对学生加强建模思想训练。

(五)归纳小结、深化目标

1.等差数列的概念及数学表达式an-an-1=d(n≥1)。

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

2.等差数列的通项公式会知三求一。

3.用“数学建模”思想方法解决实际问题。

(六)布置作业

必做题：课本习题第2，6题

选做题：已知等差数列{an}的首项=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。(目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求)

高考数学教案大全篇14

教学目标

1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题

3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点

1、等差数列的概念;

2、等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用

教具准备

投影片1张

教学过程

(I)复习回顾

师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)

(Ⅱ)讲授新课

师：看这些数列有什么共同的特点?

1，2，3，4，5，6;①

10，8，6，4，2，…;②

生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)

对于数列②—2n(n≥1)(n≥2)

对于数列③(n≥1)(n≥2)

共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……

二、等差数列的通项公式

师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

若将这n—1个等式相加，则可得：

即：即：即：……

由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①(1≤n≤6)

数列②：(n≥1)

数列③：(n≥1)

由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解

例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项

(2)—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项?如果是，是第几项?

解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4(n—1)成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

(Ⅲ)课堂练习

生：(口答)课本P118练习3

(书面练习)课本P117练习1

师：组织学生自评练习(同桌讨论)

(Ⅳ)课时小结

师：本节主要内容为：①等差数列定义。

即(n≥2)

②等差数列通项公式(n≥1)

推导出公式：(V)课后作业

一、课本P118习题3。21，2

二、1、预习内容：课本P116例2P117例4

2、预习提纲：

①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?

②等差数列有哪些性质?